微分方程式の解法、極限の定義、極限の収束条件、テイラー展開の公式を聞かれた際の回答を用意しといた
まずは微分方程式の解法ね
常微分方程式の解法（1階）
変数分離形は(\(y' = f(x)g(y)\)
同次形は(\(y' = f(y/x)\)
線形1階微分方程式は (\(y' + P(x)y = Q(x)\)
ベルヌーイの微分方程式は (\(y' + P(x)y = Q(x)y^n\))
完全微分方程式は(\(P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0\) で \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\) が成立)
常微分方程式の解法（2階・高階）
定数係数線形微分方程式は(\(ay'' + by' + cy = Q(x)\))
オイラーの微分方程式は(\(ax^2y'' + bxy' + cy = 0\))
汎用的な解法・数値解法
ラプラス変換• 解法は初期値問題に対して強力で、微分方程式をラプラス変換によって代数方程式に変換して解き、最後に逆ラプラス変換を行う
級数解法• 解法は解をべき級数（\(y = \sum a_n x^n\)）と仮定し、係数比較によって各項の係数を決定する
数値解法は オイラー法、ルンゲ・クッタ法などを用い、厳密解が解けない場合にステップごとに近似値を計算する
偏微分方程式の解法
変数分離法は未知関数を \(u(x,y) = X(x)Y(y)\) のように独立した変数の関数の積と仮定し、それぞれの常微分方程式に分解する
フーリエ変換・ラプラス変換は空間変数や時間変数に対して積分変換を施し、偏微分を代数的な操作に変換する
特性曲線法は1階の偏微分方程式において、解が一定となる「特性曲線」に沿った常微分方程式に帰着させる
次は極限の定義ね
直感的な定義は関数 \(f(x)\) において、変数を \(a\) とは異なる値を取りながら \(a\) に限りなく近づけるとき、 \(f(x)\) の値が特定の一定値 \(\alpha \) に限りなく近づくならば、これを極限値と呼び、以下のように表す
厳密な定義は「限りなく近づく」という曖昧さを排除した、実数の連続性に基づく厳密な定義
関数の極限の定義（\(\epsilon-\delta\) 論法）
任意の正の実数 \(\epsilon > 0\) に対して、ある正の実数 \(\delta > 0\) が存在し、
\(0<|{}x-a|{}<\delta \implies |{}f(x)-\alpha |{}<\epsilon \)
が成り立つとき、 \(\lim_{x \to a} f(x) = \alpha\) と定義する
次は極限の収束条件！
挟み撃ちの原理は常に関係式 \(a_n \le b_n \le c_n\) が成り立っており、両端の数列が \(\lim a_n = \lim c_n = \alpha\) と同じ値に収束するならば、中央の数列も \(\lim b_n = \alpha\) に収束する
実数の完備性（有界単調数列の収束定理）は数列 \(a_{n}\) が単調増加（または単調減少）であり、かつ、ある実数を超えない（上に有界、または下に有界）ならば、その数列は必ず収束する
コーシーの収束条件は極限値が何になるか分からなくても、数列自体が収束するかどうかを判定できる条件で、「項を十分に先まで進めれば、それ以降のどの2つの項の差も任意に小さくできる」という状態を指す
関数の右極限と左極限の一致は関数 \(f(x)\) が \(x \to a\) で収束するための必要十分条件は、右側極限（大きい方から近づく）と左側極限（小さい方から近づく）が一致すること
最後にテイラー展開の公式ね
一般のテイラー展開の公式は
\(f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a)^{2}+\frac{f^{\prime \prime \prime }(a)}{3!}(x-a)^{3}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}\)
マクローリン展開の公式はテイラー展開において、特に中心の点 \(a\) を \(0\) としたものをマクローリン展開と呼び、実用上非常によく使わる
代表的な関数のマクローリン展開は
指数関数は \(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\)
三角関数は\(\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\)
三角関数は\(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\)
対数関数 は\(\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n \quad (-1 < x \le 1)\)だよ！
